Павлов Ю.Л. Проекты

Имитационная модель случайного Интернет – графа использовалась для исследования устойчивости графа к процессу разрушения в виде направленного удаления вершин. Изучались изменения характеристик структуры графа при последовательном удалении вершин, имеющих наибольшие степени вместе с инцидентными им ребрами. В качестве критерия разрушения предполагалось наступление события, состоящего в том, что объем гигантской компоненты связности становился меньше, чем удвоенный объем второй по величине компоненты. Найдена зависимость вероятности наступления этого события от величины параметра распределения степени вершин. Изучались графовые стохастические модели с латентными переменными. Это новейшее направление исследований в прикладной статистике, ориентированное на создание специальных методов анализа данных, позволяющих выявлять скрытые связи между структурными переменными, в том числе ненаблюдаемыми, и тем самым формировать и усиливать гипотезы о механизме моделируемых явлений. Были разработаны статистические критерии, системы правил и классификаторы для осуществления атрибуции текстов. Методы прикладной статистики использовались для решения различных задач биологии и экологии, химии, экономики, медицины, метеорологии, сельского хозяйства, литературоведения.

Программа ОМН «Современные проблемы теоретической математики»
Направление исследований: исследование связи случайных графов Интернет-типа и обобщенной схемы размещения.

Проект «Теория случайных графов и ее приложения» выполнен по программе «Современные проблемы теоретической математики».
Рассматривались случайные Интернет-графы, в которых степени вершин являются независимыми случайными величинами с дискретным степенным распределением вероятностей. Полуребра вершин графа помечены и при образовании ребер соединяются равновероятно. В случае необходимости для обеспечения четности суммы степеней вершин в граф вводится дополнительная вершина единичной степени. Такие случайные графы широко используются при моделировании сложных сетей телекоммуникаций, в частности, сети Интернет и систем мобильной связи. Исследовалась возможность применения обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам для изучения Интернет-графов. Для этого рассматривалось подмножество графов, содержащих N вершин при условии, что сумма степеней равна n. При N,n → ∞ так, что 1 < n/N < ζ(τ), где τ - параметр распределения степеней вершин, а ζ(τ) - значение дзета-функции Римана в точке τ, получены предельные распределения максимальной степени и числа вершин заданной степени.

Рассматривались условные случайные графы Интернет – типа, содержащие N вер-шин при условии, что сумма степеней вершин известна и равна n, а параметр распределе-ния числа степеней вершины τ принимает любые положительные значения. Такие графы могут служить моделями сетей коммуникаций в случаях, когда возможна оценка числа связей в сети. Получены предельные распределения максимальной степени и числа вер-шин заданной степени в случаях N,n ∞ так, что 1 < a ≤ n/N ≤ b < ζ(τ), где ζ(.) – дзета – функция Римана.
Проведена серия вычислительных экспериментов, результаты которых позволили оценить число компонент связности в случайном графе Интернет – типа.

По программе "Современные проблемы теоретической математики".
Рассматривались случайные однозначные отображения множества объема n в себя, граф которых содержит m циклов, с равномерным распределением вероятностей на множестве таких отображений. Для этих объектов получены предельные распределения числа циклических вершин и числа деревьев заданного объема при n ® Ґ, m/ln n ® Ґ, m/ln n=O(ln n). Обнаружены новые примеры применения обобщенной схемы размещения – случайные рекурсивные корневые леса и случайные леса с непомеченными вершинами. Исследовано предельное поведение статистики типа хи-квадрат, предназначенной для проверки гипотезы о равном числе шаров одного цвета в урновой схеме с разно-цветными шарами.

Исследовались асимптотические свойства обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам. Для некоторых областей изменения параметров получены локальные предельные теоремы для сумм независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин. Выявлены некоторые условия отсутствия гигантской компоненты в обобщенной схеме размещения. Получены предельные распределения для длин циклов случайной подстановки. Рассматривалась асимптотика числа пар в обобщенной схеме размещения. Предложены некоторые статистические критерии для проверки гипотез о случайных лесах и других комбинаторных структурах. Доказаны предельные теоремы о распределении числа циклических вершин и числа деревьев заданного объема в случайных отображениях с извест-ным числом циклов. Найдены предельные распределения объемов деревьев случайных непомеченных лесов. Доказаны предельные теоремы для некоторых характеристик случайных графов Интернет-типа. Были рассмотрены две проблемы, связанные с индуктивным построением баз знаний. Первая состоит в использовании модели представления знаний в виде систем правил с весами, которые могут рассматриваться как некоторый классификатор. Основное внимание было уделено развитию метода структурной минимизации эмпирического риска. Вторая проблема связана с использованием априорной информации для оптимального выбора уровней значимости статистических критериев, совместно применяемых для проверки нулевой гипотезы против нескольких альтернатив. Найдены условия структурной и параметрической идентифицируемости наследственных гауссовских де-ревьев с латентными переменными и моделей факторного анализа с зависимыми остатками, разработаны соответствующие алгоритмы и программы обучения моделей. Методы и программные средства прикладной статистики широко применялись для решения научно-исследовательских задач в экономике, биологии, сельском хозяйстве, медицине, психологии, социологии. В частности, выявлена динамика фенотипического проявления текстуры древесины карельской в онтогенезе. Выявлены факторы, влияющие на частоту заболеваемости и тяжесть течения пневмонии в республике Карелия.

Получено полное описание предельного поведения минимального объема дерева в лесе Гальтона-Ватсона. Для случайных рекурсивных корневых лесов получены теоремы о предельном поведении числа деревьев заданного объема и максимального объема дерева, установлены условия возникновения гигантского дерева. Для некоторых зон изменения параметров получены предельные распределения максимального объема дерева и числа деревьев заданного объема случайного леса с непомеченными вершинами.
Исследована асимптотика статистики типа хи-квадрат и модифицирован критерий пустых ящиков для проверки гипотезы о равномерности распределения вероятностей на множестве лесов Гальтона-Ватсона.

Раздел "Поддержка новых форм подготовки научных кадров и специалистов народного хозяйства", подпроект "Создание филиала кафедры алгебры и теории вероятностей математического факультета ПетрГУ в Отделе математики и анализа данных КарНЦ РАН"