Размерность финитной аппроксимации dim_Fξ определена для любой точки ξ пространства вида F(X), где F – метризуемый полунормальный функтор, а X – метрический компакт. Такими точками могут быть замкнутые подмножества, вероятностные меры, максимальные сцепленные системы замкнутых множеств и т. д. Проведенные исследования показывают, что для многих функториальных конструкций общей топологии (функторов экспоненты, вероятностных мер, суперрасширения и др.) размерность финитной аппроксимации dim_Fξ не превосходит емкостной размерности dim_B носителя supp(ξ) данной точки. В связи с этим естественно возникает задача описания класса функторов, для которых выполняется указанное ограничение на размерность финитной аппроксимации. В работе введено понятие метризуемого функтора, сохраняющего ε-сети. Условие сохранения ε-сетей функтором F оказывается достаточным для выполнения неравенства dim_Fξ <= dim_B(supp(ξ)) для любой точки ξ ∈ F(X). Доказано, что ряд известных метризуемых функторов сохраняет ε-сети.